Geometria Analitica

Il Sistema di Riferimento Cartesiano

Il piano cartesiano è formato da due rette orientate e perpendicolari (gli assi) che si intersecano in un punto O (origine):

  • Asse x (ascisse): orizzontale
  • Asse y (ordinate): verticale

Asse x: \[y = 0\]

Asse y: \[x = 0\]

Coordinate di un Punto

Ogni punto P del piano è individuato da una coppia ordinata di numeri (x, y):

  • x è la distanza dall'asse y (ascissa)
  • y è la distanza dall'asse x (ordinata)

La Distanza tra Due Punti

Dati due punti \(A(x_1, y_1)\) e \(B(x_2, y_2)\), la loro distanza è:

\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

Il Punto Medio di un Segmento

Il punto medio M del segmento AB ha coordinate:

\[M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\]

Le Rette nel Piano Cartesiano

Rette Passanti per l'Origine

Equazione: \[y = mx\]

dove m è il coefficiente angolare

Gli Assi Cartesiani

  • Asse x: \[y = 0\]
  • Asse y: \[x = 0\]

Rette Parallele agli Assi

  • Parallela all'asse x: \[y = k\]
  • Parallela all'asse y: \[x = h\]

Le Bisettrici dei Quadranti

  • Prima e terza: \[y = x\]
  • Seconda e quarta: \[y = -x\]

Equazione Generica di una Retta

Forma esplicita: \[y = mx + q\]

dove:

  • m è il coefficiente angolare
  • q è l'ordinata all'origine

Forma implicita: \[ax + by + c = 0\]

Il Coefficiente Angolare

Calcolo del Coefficiente Angolare

Dati due punti \(A(x_1, y_1)\) e \(B(x_2, y_2)\):

\[m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Rette Parallele

Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare:

\[m_1 = m_2\]

Rette Perpendicolari

Due rette sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno l'opposto reciproco dell'altro:

\[m_1 \cdot m_2 = -1\]

Intersezioni e Distanze

Intersezione tra Due Rette

Si risolve il sistema delle equazioni delle rette:

\[\begin{cases} y = m_1x + q_1 \\ y = m_2x + q_2 \end{cases}\]

Distanza di un Punto da una Retta

Data la retta \(ax + by + c = 0\) e il punto \(P(x_0, y_0)\):

\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]

Esempi

Esempio 1: Distanza tra Punti

Calcolare la distanza tra i punti A(1, 2) e B(4, 6)

1) Applichiamo la formula: \[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

2) \[d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Esempio 2: Retta per Due Punti

Trovare l'equazione della retta passante per A(0, 1) e B(2, 5)

1) Calcoliamo il coefficiente angolare:

\[m = \frac{5-1}{2-0} = 2\]

2) Usiamo il punto A(0, 1) per trovare q:

\[1 = 2 \cdot 0 + q \rightarrow q = 1\]

3) L'equazione della retta è: \[y = 2x + 1\]

Esempio 3: Distanza Punto-Retta

Calcolare la distanza del punto P(2, 3) dalla retta 2x - y + 1 = 0

1) Riscriviamo la retta in forma normale: \[2x - y + 1 = 0\]

2) Applichiamo la formula:

\[d = \frac{|2 \cdot 2 - 3 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\]