Radicali

Che cos'è un Radicale

Un radicale è un'espressione che rappresenta la radice n-esima di un numero. Il simbolo \(\sqrt[n]{a}\) indica la radice n-esima di a, dove:

Condizioni di Esistenza

  • Per indice pari: \(\sqrt[2n]{a} \text{ esiste } \iff a \geq 0\)
  • Per indice dispari: \(\sqrt[2n+1]{a} \text{ esiste } \forall a \in \mathbb{R}\)

Proprietà Invariantiva

Moltiplicando o dividendo radicando e indice per lo stesso numero, il valore del radicale non cambia:

\[\sqrt[n]{a} = \sqrt[nm]{a^m}\]

Esempio: \[\sqrt[2]{8} = \sqrt[4]{8^2} = \sqrt[4]{64}\]

Operazioni con i Radicali

Moltiplicazione e Divisione

\[\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\] \[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]

Addizione e Sottrazione

Si possono sommare o sottrarre solo radicali simili (stesso indice e stesso radicando):

\[k_1\sqrt{a} \pm k_2\sqrt{a} = (k_1 \pm k_2)\sqrt{a}\]

Potenza e Radice

\[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\]

Trasporto di un Fattore

Fuori dal Segno di Radice

\[\sqrt[n]{a^{nk} \cdot b} = a^k \cdot \sqrt[n]{b}\]

Esempio: \[\sqrt{16x^2} = 4|x|\]

Sotto il Segno di Radice

\[a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}\]

Esempio: \[2\sqrt{3} = \sqrt{12}\]

Radicali Quadratici Doppi

Sono espressioni del tipo \(\sqrt{a \pm \sqrt{b}}\)

\[\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}\]

Razionalizzazione

Denominatore con un Radicale

\[\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}\]

Denominatore con Somma o Differenza

\[\frac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{a - b}\]

Equazioni e Disequazioni con Radicali

Equazioni con Radicali

Per risolvere un'equazione con radicali:

  1. Verificare le condizioni di esistenza
  2. Isolare il radicale
  3. Elevare entrambi i membri all'indice del radicale
  4. Verificare le soluzioni

Disequazioni con Radicali

Per le disequazioni con radicali bisogna considerare:

  • Il segno del radicale (se indice pari)
  • Le condizioni di esistenza
  • Il verso della disequazione quando si eleva a potenza pari

Esempi

Esempio 1: Trasporto fuori radice

Semplificare: \(\sqrt{75x^4y^2}\)

1) Scomponiamo: \(\sqrt{75x^4y^2} = \sqrt{25 \cdot 3 \cdot x^4 \cdot y^2}\)

2) Portiamo fuori i fattori con esponente ≥ 2:

3) \(\sqrt{75x^4y^2} = 5x^2y\sqrt{3}\)

Esempio 2: Razionalizzazione

Razionalizzare: \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\)

1) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt{5} + 2\)

2) \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2}\)

3) \(\frac{3(\sqrt{5} + 2)}{5 - 4} = 3(\sqrt{5} + 2)\)

Esempio 3: Equazione con Radicali

Risolvere: \(\sqrt{x + 3} - 1 = x\)

1) C.E.: \(x + 3 \geq 0 \rightarrow x \geq -3\)

2) Isoliamo il radicale: \(\sqrt{x + 3} = x + 1\)

3) Eleviamo al quadrato: \(x + 3 = x^2 + 2x + 1\)

4) Risolviamo: \(x^2 + x - 2 = 0\)

5) Soluzioni: \(x = 1\) o \(x = -2\)

6) Verifica: solo \(x = 1\) è accettabile