Sistemi Lineari

Sistemi di Equazioni in Due Incognite

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite è un insieme di equazioni di primo grado che devono essere verificate contemporaneamente:

\[\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}\]

dove a, b, c, d, e, f sono coefficienti reali e x, y sono le incognite.

Classificazione dei Sistemi

Sistema Determinato

Ha una e una sola soluzione. Graficamente, le rette si intersecano in un punto.

\[\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\]

Sistema Impossibile

Non ha soluzioni. Graficamente, le rette sono parallele.

\[\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases}\]

Sistema Indeterminato

Ha infinite soluzioni. Graficamente, le rette coincidono.

\[\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases}\]

Metodi di Risoluzione

Metodo di Sostituzione

  1. Isolare un'incognita in una delle equazioni
  2. Sostituire l'espressione nell'altra equazione
  3. Risolvere l'equazione ottenuta
  4. Sostituire il valore trovato

Metodo del Confronto

  1. Isolare la stessa incognita in entrambe le equazioni
  2. Uguagliare le espressioni ottenute
  3. Risolvere l'equazione risultante
  4. Sostituire il valore trovato

Metodo di Riduzione

  1. Moltiplicare le equazioni per opportuni numeri
  2. Sottrarre membro a membro per eliminare un'incognita
  3. Risolvere l'equazione ottenuta
  4. Sostituire il valore trovato

Metodo di Cramer

Si utilizzano i determinanti:

\[D = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} = ae - bd\] \[x = \frac{D_x}{D} = \frac{ce - bf}{ae - bd}\] \[y = \frac{D_y}{D} = \frac{af - cd}{ae - bd}\]

Sistemi Particolari

Sistemi Fratti

Contengono frazioni algebriche. Si risolvono:

  1. Trovando il m.c.m. dei denominatori
  2. Moltiplicando ogni equazione per il m.c.m.
  3. Risolvendo il sistema ottenuto

Sistemi Letterali

Contengono parametri letterali. La soluzione può dipendere dai valori dei parametri.

\[\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = 1 \end{cases}\]

Sistemi in Tre Incognite

Un sistema di tre equazioni in tre incognite:

\[\begin{cases} ax + by + cz = d \\ ex + fy + gz = h \\ ix + ly + mz = n \end{cases}\]

Si risolve per sostituzione o con il metodo di Cramer tridimensionale.

Esempi

Esempio 1: Metodo di Sostituzione

Risolvere il sistema:

\[\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\]

1) Dalla prima equazione: \(y = 5 - 2x\)

2) Sostituiamo nella seconda: \(x - (5 - 2x) = 1\)

3) Risolviamo: \(x - 5 + 2x = 1\)

4) \(3x = 6 \rightarrow x = 2\)

5) Sostituiamo: \(y = 5 - 2(2) = 1\)

Soluzione: \(x = 2, y = 1\)

Esempio 2: Metodo di Cramer

Risolvere il sistema:

\[\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}\]

1) Calcoliamo D:

\[D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5\]

2) Calcoliamo \(D_x\):

\[D_x = \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -7 - 2 = -9\]

3) Calcoliamo \(D_y\):

\[D_y = \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 7 = -4\]

4) Quindi:

\[x = \frac{D_x}{D} = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5}\]

\[y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5}\]

Esempio 3: Sistema Letterale

Risolvere il sistema al variare di k:

\[\begin{cases} x + ky = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}\]

1) Sottraiamo membro a membro:

\(ky - y = -1\)

\(y(k-1) = -1\)

2) Se \(k \neq 1\):

\[y = -\frac{1}{k-1}\]

\[x = 2 - y = 2 + \frac{1}{k-1}\]

3) Se \(k = 1\) il sistema è impossibile