Equazioni di Secondo Grado

Forma Generale

Un'equazione di secondo grado ha la forma:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

dove:

  • a ≠ 0 è il coefficiente del termine di secondo grado
  • b è il coefficiente del termine di primo grado
  • c è il termine noto

Formula Risolutiva

Formula Completa

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

dove \(\Delta = b^2 - 4ac\) è il discriminante

Discriminante

  • Se \(\Delta > 0\): due soluzioni reali e distinte
  • Se \(\Delta = 0\): due soluzioni reali e coincidenti
  • Se \(\Delta < 0\): due soluzioni complesse coniugate

Formula Ridotta

Se b è pari (b = 2p), si può usare:

\[x_{1,2} = -p \pm \sqrt{p^2 - ac}\]

Casi Particolari

Equazione Pura

Quando b = 0: \[ax^2 + c = 0\]

\[x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}\]

Equazione Spuria

Quando c = 0: \[ax^2 + bx = 0\]

\[x(ax + b) = 0 \rightarrow x = 0 \text{ o } x = -\frac{b}{a}\]

Equazione Monomia

Quando b = c = 0: \[ax^2 = 0\]

\[x = 0\]

Relazioni tra Radici

Somma e Prodotto

Date le radici \(x_1\) e \(x_2\):

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]

Regola di Cartesio

In un'equazione di secondo grado:

  • Se i segni cambiano una volta: una radice positiva
  • Se i segni cambiano due volte: due radici positive
  • Se i segni non cambiano: nessuna radice positiva

Scomposizione del Trinomio

Un trinomio di secondo grado si può scomporre come:

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]

dove \(x_1\) e \(x_2\) sono le radici dell'equazione

Equazioni Parametriche

Sono equazioni che contengono un parametro k:

\[ax^2 + kx + c = 0\]

Si studiano al variare del parametro k

Numeri Complessi

Unità Immaginaria

Si definisce i come: \[i^2 = -1\]

Un numero complesso ha la forma: \[z = a + bi\]

Soluzioni Complesse

Se \(\Delta < 0\), le soluzioni sono:

\[x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm i\frac{\sqrt{|b^2 - 4ac|}}{2a}\]

Equazioni Particolari

Equazioni Biquadratiche

Hanno la forma: \[ax^4 + bx^2 + c = 0\]

Si risolvono ponendo \(t = x^2\)

Equazioni Binomie

Hanno la forma: \[ax^n + b = 0\]

Equazioni Trinomie

Hanno la forma: \[ax^{2n} + bx^n + c = 0\]

Si risolvono ponendo \(t = x^n\)

Disequazioni di Secondo Grado

Studio del Segno

Per \(ax^2 + bx + c > 0\):

  • Se a > 0: parabola con concavità verso l'alto
  • Se a < 0: parabola con concavità verso il basso

Disequazioni Fratte

Si studiano separatamente numeratore e denominatore

Attenzione agli intervalli di esistenza

Disequazioni con Valore Assoluto

Si risolvono considerando i casi:

  • |espressione| > k
  • |espressione| < k

Esempi

Esempio 1: Equazione Completa

Risolvere: \[x^2 - 5x + 6 = 0\]

1) Identifichiamo i coefficienti: a = 1, b = -5, c = 6

2) Calcoliamo il discriminante:

\[\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\]

3) Applichiamo la formula:

\[x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\]

4) Quindi: \[x_1 = 3, x_2 = 2\]

Esempio 2: Equazione Parametrica

Determinare k affinché l'equazione abbia due soluzioni coincidenti:

\[x^2 + kx + 4 = 0\]

1) Per avere radici coincidenti deve essere \(\Delta = 0\)

2) \[k^2 - 16 = 0\]

3) \[k = \pm 4\]

Esempio 3: Disequazione

Risolvere: \[x^2 - 4x + 3 > 0\]

1) Troviamo le radici dell'equazione associata:

\[x^2 - 4x + 3 = 0 \rightarrow x = 1 \text{ o } x = 3\]

2) Poiché a > 0, la parabola ha concavità verso l'alto

3) Quindi: \[x < 1 \text{ o } x > 3\]