Disequazioni
Disequazioni di secondo grado
Forma Standard
\[ax^2 + bx + c > 0\] oppure \[ax^2 + bx + c < 0\]
La risoluzione dipende dal segno di a e dal discriminante Δ = b² - 4ac
Metodo di Risoluzione
- Se a > 0: la parabola è rivolta verso l'alto
- Se a < 0: la parabola è rivolta verso il basso
- Se Δ < 0: la parabola non interseca l'asse x
- Se Δ = 0: la parabola è tangente all'asse x
- Se Δ > 0: la parabola interseca l'asse x in due punti
Sistemi di disequazioni di secondo grado
Forma Generale
\[\begin{cases}
a_1x^2 + b_1x + c_1 > 0 \\
a_2x^2 + b_2x + c_2 < 0
\end{cases}\]
Metodo di Risoluzione
- Risolvere ogni disequazione separatamente
- Trovare l'intersezione degli intervalli di soluzione
Disequazioni fratte di secondo grado
Forma Generale
\[\frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f} > 0\] oppure \[\frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f} < 0\]
Metodo di Risoluzione
- Trovare il campo di esistenza (denominatore ≠ 0)
- Studiare il segno di numeratore e denominatore
- Applicare la regola dei segni
Disequazioni di secondo grado con valore assoluto
Forme Base
\[|ax^2 + bx + c| > k\] oppure \[|ax^2 + bx + c| < k\]
Metodo di Risoluzione
- Per |...| > k: risolvere ax² + bx + c > k o ax² + bx + c < -k
- Per |...| < k: risolvere -k < ax² + bx + c < k
Le disequazioni irrazionali
Forme Base
\[\sqrt{ax^2 + bx + c} > k\] oppure \[\sqrt{ax^2 + bx + c} < k\]
Metodo di Risoluzione
- Verificare il campo di esistenza (radicando ≥ 0)
- Per > k: risolvere il sistema con radicando ≥ 0
- Per < k: risolvere il sistema con k > 0
Casi Particolari
- Indice pari: considerare il campo di esistenza
- Indice dispari: non serve il campo di esistenza