La Parabola
Definizione e forma
Equazione generale
\[y = ax^2 + bx + c\]
- a ≠ 0: coefficiente del termine di secondo grado
- b: coefficiente del termine di primo grado
- c: termine noto
Concavità
- Se a > 0: concavità verso l'alto
- Se a < 0: concavità verso il basso
Elementi caratteristici
Vertice
\[x_v = -\frac{b}{2a}\]
\[y_v = -\frac{\Delta}{4a}\]
dove Δ = b² - 4ac è il discriminante
Asse di simmetria
\[x = -\frac{b}{2a}\]
Intersezioni con gli assi
- Con asse y: punto (0,c)
- Con asse x: risolvere ax² + bx + c = 0
Studio del segno
Discriminante
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
- Se Δ > 0: due radici reali distinte
- Se Δ = 0: due radici reali coincidenti
- Se Δ < 0: nessuna radice reale
Segno della parabola
Per a > 0:
- y > 0 per x < x₁ o x > x₂
- y < 0 per x₁ < x < x₂
Per a < 0:
- y < 0 per x < x₁ o x > x₂
- y > 0 per x₁ < x < x₂
Posizioni particolari
Traslazioni
- Traslazione orizzontale: y = a(x - h)² + k
- Traslazione verticale: y = ax² + k
Casi notevoli
- y = ax²: parabola con vertice nell'origine
- y = a(x - h)²: parabola traslata orizzontalmente
- y = ax² + k: parabola traslata verticalmente