Funzioni
Concetti base
Definizione
Una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento x di un insieme A uno ed un solo elemento y di un insieme B
\[f: A \rightarrow B\]
\[x \mapsto y = f(x)\]
Dominio e Codominio
- Dominio (A): insieme dei valori ammissibili per la variabile x
- Codominio (B): insieme dei valori che la funzione può assumere
- Immagine: insieme dei valori che la funzione assume effettivamente
Classificazione delle funzioni
Funzione razionale intera
\[f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\]
Dominio: \(\mathbb{R}\)
Funzione razionale fratta
\[f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\]
Dominio: \(\mathbb{R} - \{x \in \mathbb{R} : Q(x) = 0\}\)
Funzione irrazionale
\[f(x) = \sqrt[n]{g(x)}\]
- Se n pari: \(g(x) \geq 0\)
- Se n dispari: nessuna restrizione su g(x)
Studio del dominio
Condizioni di esistenza
- Denominatore ≠ 0 per funzioni fratte
- Radicando ≥ 0 per radici di indice pari
- Base > 0 per logaritmi
- Argomento > 0 per logaritmi
Esempi di domini
- \(f(x) = \frac{1}{x^2-1}\): \(\mathbb{R} - \{-1,1\}\)
- \(f(x) = \sqrt{x+2}\): \([−2,+\infty)\)
- \(f(x) = \sqrt[3]{x-1}\): \(\mathbb{R}\)
Proprietà delle funzioni
Simmetrie
- Funzione pari: f(-x) = f(x)
- Funzione dispari: f(-x) = -f(x)
Monotonia
- Crescente: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
- Decrescente: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
Periodicità
Una funzione è periodica se esiste T > 0 tale che:
\[f(x + T) = f(x)\]
per ogni x del dominio
Segno e intersezioni
Studio del segno
- f(x) > 0: la funzione è positiva
- f(x) < 0: la funzione è negativa
- f(x) = 0: zeri della funzione
Intersezioni con gli assi
- Con asse x: risolvere f(x) = 0
- Con asse y: calcolare f(0)