Geometria Analitica

Il piano cartesiano

Definizione

Sistema di riferimento formato da due rette orientate e perpendicolari (assi) che si intersecano in un punto O (origine)

  • Asse x (ascisse): orizzontale
  • Asse y (ordinate): verticale
  • Origine: punto O(0,0)

La distanza tra due punti

Formula della distanza

\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

Dove (x₁,y₁) e (x₂,y₂) sono le coordinate dei due punti

Rette particolari

Rette passanti per l'origine

\[y = mx\]

dove m è il coefficiente angolare

Equazioni degli assi

Asse x: \[y = 0\]

Asse y: \[x = 0\]

Rette parallele agli assi

Parallele all'asse x: \[y = k\]

Parallele all'asse y: \[x = h\]

Equazione di una retta

Forma esplicita

\[y = mx + q\]
  • m: coefficiente angolare
  • q: intercetta con l'asse y

Forma implicita

\[ax + by + c = 0\]

dove a, b, c sono coefficienti reali e b ≠ 0

Il coefficiente angolare

Definizione

\[m = \tan{\alpha} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

dove α è l'angolo formato con l'asse x

Rette parallele e perpendicolari

Rette parallele

Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare:

\[m_1 = m_2\]

Rette perpendicolari

Due rette sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno l'opposto reciproco dell'altro:

\[m_1 \cdot m_2 = -1\]

Il punto medio di un segmento

Formula del punto medio

\[M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})\]

dove (x₁,y₁) e (x₂,y₂) sono gli estremi del segmento

Intersezione tra due rette

Sistema di equazioni

\[\begin{cases} y = m_1x + q_1 \\ y = m_2x + q_2 \end{cases}\]

Il punto di intersezione è la soluzione del sistema

Retta passante per un punto

Equazione

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

dove (x₁,y₁) è il punto dato e m è il coefficiente angolare

Retta passante per due punti

Equazione

\[y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x - x_1)\]

dove (x₁,y₁) e (x₂,y₂) sono i due punti dati

Distanza di un punto da una retta

Formula della distanza

\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]

dove (x₀,y₀) è il punto e ax + by + c = 0 è l'equazione della retta

Problemi sulle rette

Procedimento generale

  1. Identificare i dati del problema
  2. Scegliere il metodo più appropriato
  3. Applicare le formule corrette
  4. Verificare la soluzione