Equazioni e Disequazioni

Equazioni

Definizione

Un'equazione è un'uguaglianza tra espressioni algebriche contenenti una o più incognite

\[ax + b = 0\]

dove x è l'incognita, a e b sono coefficienti reali

Classificazione

  • Determinata: ha un numero finito di soluzioni
  • Impossibile: non ha soluzioni
  • Indeterminata: ha infinite soluzioni

Principi di equivalenza

Primo Principio

Si può sommare o sottrarre uno stesso termine a entrambi i membri

\[ax + b = c \iff ax = c - b\]

Secondo Principio

Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero

\[ax = b \iff x = \frac{b}{a}, \quad a \neq 0\]

Equazioni numeriche intere

Forma Normale

Un'equazione si dice in forma normale quando tutti i termini sono a primo membro

\[ax + b = 0\]

Procedimento Risolutivo

  1. Raccogliere i termini con l'incognita a primo membro
  2. Raccogliere i termini noti a secondo membro
  3. Semplificare i membri
  4. Isolare l'incognita

Equazioni frazionarie

Condizioni di Esistenza

In un'equazione frazionaria, i denominatori non possono essere nulli

\[\frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \quad \text{con } Q(x) \neq 0\]

Procedimento Risolutivo

  1. Determinare le condizioni di esistenza
  2. Moltiplicare tutti i termini per il m.c.m. dei denominatori
  3. Risolvere l'equazione intera ottenuta
  4. Verificare le soluzioni nelle condizioni di esistenza

Disequazioni

Definizione

Una disequazione è una disuguaglianza tra espressioni algebriche contenenti una o più incognite

\[ax + b > 0\]

Principi di Equivalenza

  • Si può sommare o sottrarre uno stesso termine a entrambi i membri
  • Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero positivo
  • Moltiplicando o dividendo per un numero negativo il verso della disequazione si inverte

Disequazioni numeriche intere

Procedimento Risolutivo

  1. Raccogliere i termini con l'incognita a primo membro
  2. Raccogliere i termini noti a secondo membro
  3. Semplificare i membri
  4. Risolvere applicando i principi di equivalenza

Rappresentazione delle Soluzioni

Le soluzioni si rappresentano su una retta orientata o con la notazione intervallare

\[x > a \quad \text{oppure} \quad ]a,+\infty[\] \[x < b \quad \text{oppure} \quad ]-\infty,b[\]

Disequazioni frazionarie

Studio del Segno

Per risolvere una disequazione frazionaria occorre studiare il segno di:

  • Numeratore
  • Denominatore (deve essere diverso da zero)

Procedimento Risolutivo

  1. Determinare le condizioni di esistenza
  2. Studiare il segno del numeratore
  3. Studiare il segno del denominatore
  4. Combinare i risultati secondo la legge dei segni

Sistemi di disequazioni

Definizione

Un sistema di disequazioni è formato da più disequazioni che devono essere verificate contemporaneamente

\[\begin{cases} ax + b > 0 \\ cx + d < 0 \end{cases}\]

Risoluzione

  1. Risolvere separatamente ogni disequazione
  2. Trovare l'intersezione degli intervalli soluzione
  3. Rappresentare la soluzione sulla retta reale