Numeri Razionali

Dalle frazioni ai numeri razionali - Parte 1

Definizione di Frazione

Una frazione è un numero della forma \[\frac{a}{b}\] dove:

  • a è il numeratore
  • b è il denominatore (diverso da zero)

Due frazioni sono equivalenti se: \[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc\]

Dalle frazioni ai numeri razionali - Parte 2

Proprietà delle Frazioni

  • Semplificazione: \[\frac{a}{b} = \frac{a:k}{b:k}\] dove k è un divisore comune
  • Amplificazione: \[\frac{a}{b} = \frac{a\cdot k}{b\cdot k}\] dove k è un numero qualsiasi

Il confronto di numeri razionali

Regole di Confronto

Per confrontare due frazioni:

  1. Ridurle allo stesso denominatore
  2. Confrontare i numeratori

\[\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff ad > bc\]

Operazioni in Q

Addizione e Sottrazione

\[\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}\]

Moltiplicazione

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\]

Divisione

\[\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\]

Le potenze con esponente intero negativo

Definizione

\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]

Proprietà:

  • \[a^{-n} \cdot a^m = a^{m-n}\]
  • \[\frac{a^{-n}}{a^{-m}} = a^{m-n}\]

I numeri razionali e i numeri decimali

Tipi di Numeri Decimali

  • Limitati: terminano dopo un numero finito di cifre
  • Illimitati periodici: hanno una sequenza di cifre che si ripete indefinitamente

Esempio: \[0,\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]

Operazioni in R

Addizione, Sottrazione, Moltiplicazione, Divisione

Le operazioni in R seguono le stesse regole di Q, estese ai numeri irrazionali

Operazioni in R - Potenze

Proprietà delle Potenze

  • \[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
  • \[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]
  • \[(a^m)^n = a^{m\cdot n}\]

Le frazioni e le proporzioni

Proporzioni

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\]

Proprietà fondamentale:

\[ad = bc\]

La percentuale

Calcolo della Percentuale

\[p\% \text{ di } n = \frac{p}{100} \cdot n\]

Esempi:

  • 20% = \(\frac{20}{100} = \frac{1}{5}\)
  • 25% = \(\frac{25}{100} = \frac{1}{4}\)

Approssimazioni

Definizioni

  • Errore assoluto: \[|x - x_a|\]
  • Errore relativo: \[\frac{|x - x_a|}{|x|}\]

Metodi di Approssimazione

  • Arrotondamento: si arrotonda all'n-esima cifra decimale
  • Troncamento: si troncano le cifre dopo l'n-esima posizione decimale

Propagazione degli Errori

Nelle operazioni, gli errori si propagano secondo regole specifiche:

  • Somma/Differenza: gli errori assoluti si sommano
  • Prodotto/Quoziente: gli errori relativi si sommano