Relazioni e Funzioni

Prodotto cartesiano

Definizione

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) dove a ∈ A e b ∈ B

\[A \times B = \{(a,b) : a \in A \land b \in B\}\]

Relazioni

Definizione

Una relazione R da A a B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B

Notazione: \[aRb \iff (a,b) \in R\]

Dominio e Codominio

  • Dominio: \[D_R = \{a \in A : \exists b \in B, (a,b) \in R\}\]
  • Codominio: \[C_R = \{b \in B : \exists a \in A, (a,b) \in R\}\]

Relazioni in un insieme

Proprietà delle Relazioni

  • Riflessiva: \[\forall x \in A, xRx\]
  • Simmetrica: \[\forall x,y \in A, xRy \implies yRx\]
  • Transitiva: \[\forall x,y,z \in A, (xRy \land yRz) \implies xRz\]
  • Antisimmetrica: \[\forall x,y \in A, (xRy \land yRx) \implies x = y\]

Relazioni di equivalenza

Definizione

Una relazione di equivalenza è una relazione che è:

  • Riflessiva
  • Simmetrica
  • Transitiva

Classi di Equivalenza

La classe di equivalenza di un elemento a è l'insieme di tutti gli elementi in relazione con a

\[[a] = \{x \in A : xRa\}\]

Relazioni d'ordine

Definizione

Una relazione d'ordine è una relazione che è:

  • Riflessiva
  • Antisimmetrica
  • Transitiva

Tipi di Ordine

  • Ordine totale: \[\forall x,y \in A, xRy \lor yRx\]
  • Ordine parziale: possono esistere elementi non confrontabili

Funzioni

Definizione

Una funzione f da A a B è una relazione che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B

\[f: A \rightarrow B\] \[x \mapsto f(x)\]

Proprietà delle funzioni

Iniettività

Una funzione è iniettiva se elementi diversi hanno immagini diverse

\[\forall x_1,x_2 \in A, x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)\]

Suriettività

Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio

\[\forall y \in B, \exists x \in A : f(x) = y\]

Biiettività

Una funzione è biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva

Funzione inversa

Definizione

Se f è biiettiva, esiste la funzione inversa \(f^{-1}\) tale che:

\[f^{-1}(f(x)) = x\] \[f(f^{-1}(y)) = y\]

Composizione di funzioni

Definizione

Date due funzioni f: A → B e g: B → C, la loro composizione è:

\[g \circ f: A \rightarrow C\] \[(g \circ f)(x) = g(f(x))\]

Funzioni reali

Definizione

Una funzione reale è una funzione del tipo:

\[f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\]

Proprietà

  • Crescente: \[x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)\]
  • Decrescente: \[x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)\]
  • Monotona: crescente o decrescente