Monomi e Polinomi

Monomi

Definizione

Un monomio è un'espressione algebrica del tipo \[ax_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_k^{n_k}\] dove:

  • a è il coefficiente (numero reale)
  • \(x_1, x_2, ..., x_k\) sono le variabili
  • \(n_1, n_2, ..., n_k\) sono gli esponenti (numeri naturali)

Grado di un Monomio

Il grado complessivo è la somma degli esponenti:

\[\text{grado}(ax_1^{n_1}x_2^{n_2}) = n_1 + n_2\]

Operazioni con i monomi

Somma e Sottrazione

Si possono sommare o sottrarre solo monomi simili (stessa parte letterale)

\[3x^2y + 5x^2y = 8x^2y\]

Moltiplicazione

Si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle stesse variabili

\[(3x^2y)(2xy^2) = 6x^3y^3\]

Divisione

Si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti delle stesse variabili

\[\frac{6x^3y^3}{2xy^2} = 3x^2y\]

Potenza

Si eleva il coefficiente alla potenza e si moltiplicano gli esponenti per l'esponente della potenza

\[(2x^2y)^3 = 8x^6y^3\]

Polinomi

Definizione

Un polinomio è una somma algebrica di monomi

\[P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\]

Grado di un Polinomio

Il grado di un polinomio è il massimo tra i gradi dei suoi monomi

\[\text{grado}(3x^2 + 2x + 1) = 2\]

Operazioni con i polinomi

Somma e Sottrazione

Si sommano o sottraggono i coefficienti dei termini simili

\[(3x^2 + 2x) + (x^2 - x) = 4x^2 + x\]

Moltiplicazione

Si moltiplica ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo

\[(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1\]

Prodotti notevoli

Quadrato di Binomio

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

Somma per Differenza

\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]

Cubo di Binomio

\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\] \[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]

Divisione tra polinomi

Divisione con Resto

Dati due polinomi P(x) e D(x), esistono Q(x) e R(x) tali che:

\[P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\]

dove il grado di R(x) è minore del grado di D(x)

Regola di Ruffini

Per dividere un polinomio per (x - a)

\[P(x) = (x - a)Q(x) + R\] \[R = P(a)\]

Fattorizzazione

Metodi di Fattorizzazione

  • Raccoglimento a fattor comune
  • Riconoscimento di prodotti notevoli
  • Trinomio caratteristico
  • Somma e differenza di cubi

Trinomio Caratteristico

Un trinomio del tipo \(x^2 + bx + c\) si fattorizza come:

\[x^2 + bx + c = (x + h)(x + k)\]

dove h e k sono numeri tali che:

  • \[h + k = b\]
  • \[h \cdot k = c\]

Divisibilità tra polinomi

Teorema del Resto

Il resto della divisione di P(x) per (x - a) è uguale a P(a)

Teorema di Ruffini

Un polinomio P(x) è divisibile per (x - a) se e solo se P(a) = 0